タイトル

開講年度 開講学部等
2025 理学部
開講学期 曜日時限 授業形態 AL（アクティブ・ラーニング）ポイント
前期 金7～10 講義 1.0
時間割番号 科目名[英文名] 使用言語 単位数
1041100018 幾何学[Geometry] 日本語 4
担当教員（責任）[ローマ字表記] メディア授業
寺本　圭佑[TERAMOTO Keisuke] ー
担当教員[ローマ字表記]
寺本　圭佑　[TERAMOTO Keisuke]
特定科目区分   対象学生   対象年次 3～4
ディプロマ・ポリシーに関わる項目 カリキュラムマップ(授業科目とDPとの対応関係はこちらから閲覧できます)
授業の目的と概要
ユークリッド空間内の曲線や曲面の微分幾何学的な性質を考察する。特に、平面曲線の曲率、空間曲線の曲率と捩率、曲面の第一、第二基本量、Gauss 曲率、平均曲率、主曲率、主方向を学び曲面論の基本定理や Gauss-Bonnet の定理を理解する。
授業の到達目標
(1)微分幾何学の基本的な概念を理解し、取り扱うことができる。
(2)微分幾何学的な考え方を習得し、それを用いて物事を取り扱うことができる。
(3)微分幾何学的な考え方に興味を持ち、自ら進んで新しい概念や問題に取り組むことができる。
(4)授業内容に真摯に取り組むことができる。
(5)微分幾何学的な考え方を人に伝えることができる。
授業計画
【全体】
本講義で扱う内容は以下のとおりである:

・平面曲線（曲率、 Frenet の公式、平面曲線論の基本定理）
・空間曲線（曲率、捩率、Frenet-Serret の公式、空間曲線論の基本定理）
・曲面（第一基本量、第二基本量、Gauss 曲率、平均曲率、主曲率、曲面論の基本定理、Gauss-Bonnet の定理など）
・曲線、曲面に関するその他のトピック

各項目は受講学生の理解度を考慮して進める。
項目 内容 授業時間外学習 備考
第1回 ・講義概要
・平面曲線（1） 		平面曲線パラメータ表示、パラメータ変換、弧長 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第2回 平面曲線（2） 動標構、曲率 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第3回 平面曲線（3） Frenet の公式、平面曲線の基本定理 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第4回 平面曲線に関する演習 曲率の計算など 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第5回 空間曲線（1） 空間曲線のパラメータ表示、パラメータ変換、弧長 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第6回 空間曲線（2） ベクトル積、動標構、曲率と捩率 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第7回 空間曲線（3） Frenet-Serret の公式、空間曲線の基本定理 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第8回 空間曲線に関する演習 曲率、捩率の計算など 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第9回 曲面 曲面のパラメータ表示、正則性、パラメータ変換、単位法ベクトル 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第10回 曲面の第一基本量 第一基本量、曲面の面積 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第11回 曲面の第二基本量 第二基本量、Weingarten の公式 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第12回 曲面の曲率 Gauss 曲率、平均曲率、主曲率 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第13回 曲面上の曲線とその曲率 法曲率、測地的曲率 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第14回 曲面の曲率に関する演習 曲面の曲率の計算など 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第15回 中間まとめ（理解度確認試験） これまでの内容についてのまとめ 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第16回 曲面上の曲線（1） 曲率線、漸近線 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第17回 曲面上の曲線（2） 測地線、測地線の方程式 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第18回 曲面上の曲線（3） 最短線と測地線、曲線の変分 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第19回 曲面の基本方程式（1） Gauss 方程式、Codazzi 方程式 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第20回 曲面の基本方程式（2） 曲面論の基本定理 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第21回 Gauss-Bonnet の定理（1） 測地的極座標 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第22回 Gauss-Bonnet の定理（2） 曲面上の三角形、局所版 Gauss-Bonnet の定理 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第23回 Gauss-Bonnet の定理（3） 局所版 Gauss-Bonnet の定理の証明、大域版 Gauss-Bonnet の定理 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第24回 曲面の様々な座標（1） Monge 標準形、等温座標 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第25回 曲面の様々な座標（2） 曲率線座標、漸近線座標 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第26回 その他のトピックス 曲線と曲面についてのトピックス 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第27回 その他のトピックス 曲線と曲面についてのトピックス 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第28回 その他のトピックス 曲線と曲面についてのトピックス 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第29回 問題演習 これまでの内容に関する演習 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第30回 総まとめ これまでの内容の総まとめを行う 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
第31回 期末試験 期末試験 授業中に指示した学習内容について、復習してください。（学習時間の目安：4時間以上）
※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
A: --%　B: --%　C: 10%　D: --%
成績評価法
レポートと定期試験で評価する。
レポート 20％、中間試験　40％、期末試験　40％
教科書にかかわる情報
備考
教科書は特に指定しない。講義中に資料を配布する。
参考書にかかわる情報
参考書 書名 曲線と曲面（改訂版） ISBN 9784785315634
著者名 梅原雅顕・山田光太郎 出版社 裳華房 出版年 2015
参考書 書名 曲線と曲面の微分幾何（改訂版） ISBN 9784785310912
著者名 小林昭七 出版社 裳華房 出版年 1995
参考書 書名 じっくり学ぶ曲線と曲面 ISBN 9784320017887
著者名 中内伸光 出版社 共立出版 出版年 2005
備考
上記以外にも曲線と曲面の微分幾何に関する専門書は多くある。図書館などで自分に合う本を見つけてみることを薦める。
メッセージ
公理から出発する抽象的な数学と違い、最初の方は高校でやっていた数学に近い内容なので取り掛かりやすいと思います。具体的な内容を扱いますので、自分で手を動かして理解していってください。
キーワード
平面曲線、空間曲線、曲率、捩率、Frenet-Serret の公式、曲面、第一基本量、第二基本量、Gauss 曲率、平均曲率、主曲率、Weingarten の公式、Gauss の公式、測地線、Gauss-Codazzi 方程式、Gauss-Bonnet の定理
持続可能な開発目標（SDGs）

  • 質の高い教育をみんなに
(教育)すべての人に包摂的かつ公正な質の高い教育を確保し、生涯学習の機会を促進する。
関連科目
微分積分学、線型代数学、集合と位相の基本的な内容は既知のものとして進めます。
履修条件
多変数の微分積分学、線形代数学に関する知識を必要とする。
連絡先
理学部1号館143号室
メールアドレス：kteramoto@yamaguchi-u.ac.jp
オフィスアワー
特に指定しません。質問などがある場合は研究室にお越しください。

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