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メディア授業とは，メディアを利用して遠隔方式により実施する授業の授業時数が，総授業時数の半数を超える授業をいいます。
メディア授業により取得した単位は，卒業要件として修得すべき単位のうち60単位を超えないものとされています。
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本講義では, 代数学, 特にその中の群論を講義する.
自然数 n のうち, 3 で割ると 2 余り, 5 で割ると 3 余り, 7 で割ると 2 余るものを求めよ, という問題が古代中国にあった. この問題を一般化した定理は, 現在, 中国剰余定理と呼ばれ, 初等整数論の重要な定理の一つである. この講義では, 群と呼ばれる概念について学び, 中国剰余定理やシローの定理の理解を目指す.
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本講義の到達目標は, 代数学の基礎である群論について, 基本的な考え方や命題を理解することである.
そのためには, 命題を厳格に証明する試みが大切である. その過程により, 基本的な考え方が身につき,
基本的な命題の理解が深まると思われる. 厳格な証明を試みるためには, 教科書や参考書をよく読み, よく書き写し,
内容を検証し, そして改めてノートに記すことが必要である.
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講義は対面式で行います. 教室内はもちろん, 廊下で大騒ぎしないようにお願いします. ついでに言いますと「三密」は仏教の言葉です.
講義内容は以下の通りです.
群の定義と例, 部分群, 対称群など, 類別, 剰余類, 共役類, 正規部分群, 剰余群, 準同型定理, 同型定理, 直積, アーベル群の基本定理, シローの定理, 整数論への応用.
16週目(講義32回目)に期末試験を行います. 中間試験は, 9週目あたりに行います(レポートの提出状況などを考慮して, 実施日を決めます).
「思考の整理学」(外山滋比古著)に, 学校で何でも丁寧に教えるのは良いとは限らないと述べられています. 下に述べた, 講義内容を毎回の講義前に自分で本を読んで2時間は勉強してから, 講義に臨んで頂きたい. 講義中には, 定理の証明の詳細を意図的に省くことがあります. その部分について, 履修者自身が気が付いて, 自身がその行間を読む必要があります. また, 少しですが, 練習問題, 宿題を課しますので, 各自でそれらに取り組んで下さい. 毎回の講義後に2時間は, それらや講義の復習に取り組んで下さい.
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第1回
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置換の復習
(線形代数を思い出そう)
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この講義は群論の講義であるが, 先ず簡単に体について触れる. 実数体, 有理数体, 複素数体, 4元数体.
その後, 群の例として, 整数全体の加法群を説明する.
そして, いよいよ本格的に群論を学ぼうとするが, ここで, 徐に,
線形代数で学んだ, 置換についての復習を始める. ふざけているのではない.この講義で学ぶ`群'の例として, 対称群と呼ばれるものがある. 置換の理解が深まれば, 群の理解が深まる(では, 一体何故, 体について述べたのか?).
n文字の置換全体の集合を S_{n} とかく. S_{n} の元について,
積の定義を思い出し, 結合則や恒等置換の性質, 逆置換の性質を思い出そう.
巡回置換, 互換を思い出そう.
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第2回
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置換の復習
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S_{n} の元に関する命題.
巡回置換を互換の積で表す,
互換を三つの互換の積で表す,
置換は互換の積に分解される,
など
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第3回
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置換の復習
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置換について, 転位を定義し, それに基づいて, 置換を偶置換, 奇置換に分ける. また, 置換の符号を定義する.
偶置換は偶数個の互換の積に分解されること, 奇置換は奇数個の互換の積に分解されることを示す.
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第4回
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置換の復習
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S_{n} の元のうち偶置換をすべて集めた集合を A_{n} と記す. A_{n} の元の個数は n!/2 であることを示す.
置換の復習を終える.
ここまでの内容を確り理解すること.
置換を取り上げたのは, 今後の講義内容についての伏線だからである. どのように伏線が回収されるかは, 講義中にいちいちお伝えしません.
ここに述べた内容が早く終わるようであれば, 群の内容に進む.
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第5回
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群の定義と例
(群の定義を確り身に付けよう)
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ここから, 本格的に群論の勉強に入る.
先ず, 演算を説明する. 演算にならない例と演算になる例を考える.
その後, 群を定義する. web 上で群の定義を書くのは面倒なので割愛する. 簡単に言えば, G の演算について, 結合則を満たし, 単位元が存在し, 任意の元に必ず逆元が存在する集合を群という.
S_{n} や A_{n} は置換の積を演算として群になる.
結合則について注意を述べる.
群の単位元, 逆元の一意性を証明する.
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第6回
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群の例, 群に関する用語
(例を確り身に付けよう)
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群の例を幾つか挙げる. それらが群の定義を満たすことを確認する.(これが自分でできるようになれば, 講義が面白くなると思います. そうでなければ, 講義は面白くないと思います. 数学は面白くなるまでに, 少々時間が必要です.)
Z, mZ, R, Q, C: 加法群
R^{*}, Q^{*}, C^{*}, T, R^{+}: 乗法群
他に, 一般線型群 GL(n, C), 特殊線型群 SL(n,C), ユニタリ群 U(n), 直交群 O(n), モジュラー群など
群に関する用語も説明する.
加法群, 乗法群, 零元, 単位元,
群の位数, 元の位数, 有限群, 無限群, アーベル群, 非可換群 など
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第7回
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部分群
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群 G の部分集合のうち, 部分群と呼ばれる部分集合がある.
部分群の定義と例, 部分群を判定する命題を学ぶ. 対称群の中の交代群, GL(n, R) の中のSL(n,R), SL(2, R) の中の SL(2, Z) など.
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第8回
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巡回群
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部分群の例の続き. GL(n,C) の中の SU(n) など. 巡回部分群について学ぶ. ついでに, 巡回群や群の生成元についても学ぶ.
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第9回
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SL(2, Z), 巡回群
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対称群, 二面体群, SL(2,Z)の生成元などを学ぶ. 他に巡回群に関する命題も学ぶ.
ついでに, オイラー関数など, 数論的関数も紹介する. 群論において, オイラー関数は何を意味するだろうか?
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第10回
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初等整数論
(小学校のときの割り算を思い出そう)
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整数の整除(除法の原理), 最大公約数, 最小公倍数,素数の性質を学ぶ.
何を今更と思うかもしれないが, それは面白いし, 後に学ぶ`剰余類'や`剰余群'を学ぶための伏線でもある.
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第11回
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初等整数論
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環, イデアルの定義, 整数の合同について学ぶ. ついでに, 体も学ぶ. 後期の講義`代数学展開'への布石でもある.
さらに, 中国剰余定理を紹介する. しかし, 証明は断腸の思いで割愛する.
中国剰余定理は大切です.
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第12回
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類別, 剰余類, ラグランジュの定理
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集合の類別, 群の類別について学ぶ. 集合の類別については, 集合の講義で学んでいると思うが, 面倒だと思わずに, 理解を深めて頂きたい.
集合の類別や類別の完全代表系について学び, その後, 集合として, 群を考える. 群 G をその部分群 H により剰余類に類別することを学ぶ.
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第13回
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類別, 剰余類, ラグランジュの定理
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ラグランジュの定理：有限群 G の部分群 H の位数, 指数は G の位数の約数である
を証明する.
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第14回
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正規部分群と剰余群
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群 G の部分群 H について, 共役な部分群を定義し, G の正規部分群を定義する. 正規部分群に関する命題(例えば, 指数が2 の部分群は正規部分群である)を学び, 正規分群の例を挙げる.
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第15回
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正規部分群と剰余群
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群 G をその正規部分群 N により, 剰余類に類別する. これらの類を元とする剰余群を定義する.
剰余群の例を確認する.
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第16回
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共役類, 類等式
(ハーディー・ラマヌジャンの公式, 交代群の単純性)
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共役類, 類等式を学ぶ.
群 G の元 g に共役な元を定義し, 群 G において, 共役な関係による同値類を定義する. それを共役類と呼ぶ. 群 G の共役類による類別を考える.
対称群において, 共役類を考える.
ついでに, 分割数についてのハーディー・ラマヌジャンの公式を紹介する. これは, コーシーの積分公式を用いて証明するので, この講義では証明しない. 複素解析の講義を参考にして下さい. 複素解析は大切です. x 以下の素数の個数をπ(x) と書くと, π(x)～x/log x (x→∞)であるが, これを証明するには, 複素解析を使うのがわかり易い. 複素解析を疎かにしてはいけない.
交代群 A_n (n は5以上)の単純性についても紹介する (その証明は単純ではない).
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第17回
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準同型定理・同型定理
(講義が残り半分になりました. めげずに頑張ろう.)
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準同型定理・同型定理について学ぶ.
群 G から 群 G' への写像 f が, 任意の元 a, b \in G に対して, f(ab)=f(a)f(b) を満たすとき, f を G から G' への準同型写像と呼ぶ. この f が全単射ならば, 同型写像と呼ぶ.
例えば, 群 G とその正規正規部分 N を用いて, 剰余群 G/N を用意するとき, 群 G から 群 G/N への写像 f を f(a)=aN により定めると, これは, 全射であり, 準同型写像である. このような命題を学んだ後, 準同型定理を証明する. 準同型定理とは, f を群 G から群G' への全射準同型写像とすると, G/Ker f ≅ G' であるという命題である.
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第18回
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準同型定理の応用例
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準同型定理の応用例を学ぶ.
GL_{n}(R)/SL_{n}(R)≅ R^{*}, C^{*}/T ≅ R^{+},
Γ_{1}(N)/Γ(N)≅ Z/NZ
など.
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第19回
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第一同型定理, 第二同型定理
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第一同型定理, 第二同型定理を紹介する. 講義の進捗状況によっては, 割愛するが, 準同型定理の応用である.
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第20回
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直積
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集合の講義で, いくつかの集合の直積を学んだと思う. ここでは,
群の直積を考える.
幾つか群を用意して, それを並べて, それらの直積集合を作る. その集合が群になるように演算を定義する. このような群の同型に関する命題を証明する. 例えば, 群 G_{1}, G_{2}, ..., G_{n}を用意し, 各群の正規部分群を N_{i}と書く. G_{1}から G_{n} の直積を N_{1} から N_{n} の直積で割った剰余群は, G_{1}/N_{1}から G_{n}/N_{n} の直積に同型であることを示す.
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第21回
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直積・中国剰余定理
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群Gが n 個の正規部分群 G_{i}により, G=G_{1}G_{2}・・・G_{n}である状況を考える. G_{i}の元と G_{j} の元(i, j は相異なる添え字)が可換であるという命題と同値な命題を考える.
自然数 m, n が互いに素であるとする. Z/mnZ ≅ Z/mZ + Z/nZ を示す.
これより, 中国剰余定理が導かれる.
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第22回
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アーベル群の基本定理
(この辺から難しくなりますが, 頑張ろう)
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アーベル群の基本定理を学ぶ.
アーベル群の基本定理とは以下である.
有限生成のアーベル群はいくつかの巡回群の直積である.
整数を成分とする m×n 行列全体の集合を M_{m,n}(Z) と書く.
M_{m,n}(Z) の元 A, B について,
XAY=B となる GL_{m}(Z) の元 X, GL_{n}(Z) の元 Y が存在するならば, A ～ B と書く. この ～は 同値関係である.
M_{m,n}(Z) を ～ で類別し, 各同値の代表元を単因子で表す.
線型代数で学んだ, 行列の基本変形, 小行列式や, 初等整数論の剰余の定理を思い出して下さい.
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第23回
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アーベル群の基本定理
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加法群 G について, G の任意の元が, G の元 u_{1}, u_{2},...,u_{n} を用いて, a_{1}u_{1}+...+a_{n}u_{n}
の形で一意的に表されるとき(a_{i} は整数), G を階数 n の自由加群という. この, u_{1}, ..., u_{n} を自由加群 G の基底という.
自由加群についての幾つか命題を示す(命題を具体的に書こうと試みたが, web 上で書くのはとても面倒なので諦めました).
さらに, 次を示す.
階数 n の自由加群 F_{n} の部分群 H は階数が高々 n の自由加群である.
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第24回
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アーベル群の基本定理
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階数 n の自由加群 F_{n} の基底から, F_{n} の部分群 H の基底を見出す.
そして,
アーベル群の基本定理の証明を完成させる.
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第25回
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群の作用とシローの定理
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群 G が空でない集合 Ωに左から作用する, ということを定義する. 作用の定義をweb 上に書くのは面倒なので割愛する(ノートに字を書く方が早いし, 電気代もかからない. 目も悪くならない. 手は疲れるが).
例として, 対称群 S_{n} が {1,2,...,n} に左から作用すること,
群 G と部分群 H から剰余類全体 G/H を作ると, 群 G が集合 G/H に左から作用することを紹介する.
作用について, 軌道と呼ばれる同値類を定義する.
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第26回
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群の作用とシローの定理
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有限群 G の位数を p^{a}n と書く (p は素数). このとき, 位数 p^{a} である部分群が存在することを示し, そのような部分群の個数が法を p として, 1 に合同であることを示す.
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第27回
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群の作用とシローの定理
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p を素数とする.
位数が p^{a} (a\geq 1) である群を p 群という. p群の部分群はp部分群という. 群 G の部分群H の位数が p^{a} であり, p^{a+1} が G の位数を割り切らないとき, H を Sylow p 部分群という.
Sylow の定理を証明する.
有限群 G について, 次が成り立つ.
(1) G には, Sylow p 部分群が存在する.
(2) 省略 (web 上で書くのは面倒)
(3) G に入っている Sylow p 部分群の個数は, 法 p について 1 に合同な |G| の約数である.
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第28回
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群の作用とシローの定理
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p, q を素数とする.
(1) 位数 p^{2} の群はアーベル群である.
(2) p>q であり p が法を q として 1 に合同でないとする. 位数 pq の群は巡回群である.
を証明する.
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第29回
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整数論への応用
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合同部分群の指数について, 3回に渡って学ぶ (講義の進捗状況によってはここまで辿り着けないかも知れない).
今回は次の三つの命題を示す.
三つの整数 c, d, N に共通する約数の最大が 1 であるとする. c'=c+tN, d'=d+sN (s,tは整数) の形の整数で, (c', d')=1 を満たすものがあることを示す.
SL(2,Z) の元について, 行列の各成分を法N の剰余類に対応させる写像を考える. これは, SL(2,Z) から SL(2, Z/NZ) への全射準同型写像である.
Γ(N) は SL(2,Z) において, 指数が有限である正規部分群である.
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第30回
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整数論への応用
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p を素数とする. 次の三つの命題を示す.
GL(2, Z/pZ) の位数は, (p^2 -1)(p^2-p) である.
GL(2,Z/pZ)において, SL(2,Z) は正規部分群である. その指数は, p-1 である.
SL(2,Z/pZ)の位数は p(p^2-1) である.
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第31回
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整数論への応用
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締めくくり.
Nを2以上の自然数とする. 次の三つを示す.
[SL(2,Z): Γ(N)]
=N^3 Π_{p|N}(1-p^{-2})
[SL(2,Z): Γ_{1}(N)]
=N^2 Π_{p|N}(1-p^{-2})
[SL(2,Z): Γ_{0}(N)]
=NΠ_{p|n}(1+1/p)
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※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
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A: --% B: --% C: --% D: --%
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備考
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特に教科書は指定しないが, 自分で一冊参考書を選んで購入してください. そして, 紙のノートを用意して, 自分で字を書いて, 予習・復習に努めてください. アルティン著「ガロア理論入門」(寺田文行訳, ちくま学芸文庫)の最後の方, 文庫版訳者あとがきに「単に目で読み, 考えていくという学習法ではなく, 書きながら進むこと」と書かれています. 自分で字を書くことを怠らないようにして下さい. 松本清張著「砂の器」(新潮文庫, 下巻の方)に「うむ, まずい. まるで中学生が書いたようだ. しかし, 近ごろの大学卒業者は, 字がおそろしく下手くそだからな」というセリフがあります.
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代数系入門
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9784000056342
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松坂和夫
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岩波書店
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1976
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群論序説
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9784535788091
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星 明考
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日本評論社
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2016
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群論
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4000211528
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浅野啓三・永尾汎
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岩波書店
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2014
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現代代数学 1
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9784489023002
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ファン・デル・ヴェルデン(銀林浩訳)
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東京図書
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2018
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備考
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この講義は, 上の「群論序説」を参考にしています. また, 上に述べた現代代数学1 はとても勉強になると思います.
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2024年度の代数学の講義では, 講義前に予習復習用資料として, 修学支援システムを用いて「講義ノート」を配布していましたが, 2025年度は講義ノートの配布は行いません. 2024年10月の新聞投書欄に, 高校の授業はスマートフォンを利用することが前提になっている, という高校生からの投書がありました. 私はそれを読んで深く反省しました. スマートフォン, インターネットがなくても勉強できるはずなのに, 講義の予習にインターネットを前提とし, 修学支援システムにより講義ノートを配布していたからです. 2025年度の代数学の講義は, インターネットを前提にせずに, 講義を行います.
抽象的な議論が多い講義ですが, 群論は初等整数論から発展した面もありますので, 具体的な整数の例などを各自で考えて予習復習に努めて下さい. 講義時間中に演習問題の解説をやっていたら, 時間がかかりすぎますので, 各自で演習書を自分で探してきて, 演習問題を解くことを日常的に取り組んで下さい. わからないときは, お気軽に質問してください. また, 後期の代数学展開I IIの履修を考えている人にはこの代数学の講義の履修を勧めます. 代数学展開はこの講義と独立して履修することができますが, この代数学の講義での議論に慣れていないと, 大変だと思います. 暁烏敏の「歎異抄講話」に, こんなことが書かれています. 「学問の目的は人格の完成にあり, 仏法の学問の完成はめでたく往生をと遂ぐるにあり. しかるを学問をして名をあげよう, 利を蓄えようと思うのが大なるまちがいである. 世間の学問ですら名利利養のためにすることは卑しいことであるのに, (略)」群論の勉強が人格の完成かどうかはさておき, 名利利養を無視して群論を楽しんで頂ければ幸いです.
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集合位相, 線形代数, 微分積分, 複素解析, フーリエ解析, 代数学展開, 発展セミナー, 特別研究
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南出 真, 133 研究室, minamide@yamaguchi-u.ac.jp
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平日の 18:00--20:00 にご自由にお越しください(18時までは, だいたい講義やセミナーがありますが, 午前中(9時前)の講義がない時間帯でも構いません). 対面式のみです. お気軽に質問してください. 研究室にいないときは, 図書館にいますので, 探して下さい. 図書館は静かで良いです.
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