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メディア授業とは，メディアを利用して遠隔方式により実施する授業の授業時数が，総授業時数の半数を超える授業をいいます。
メディア授業により取得した単位は，卒業要件として修得すべき単位のうち60単位を超えないものとされています。
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本講義では, 代数学, 特にその中の群論を講義する.
自然数 n のうち, 3 で割ると 2 余り, 5 で割ると 3 余り, 7 で割ると 2 余るものを求めよ, という問題が古代中国にあった. この問題を一般化した定理は, 現在, 中国剰余定理と呼ばれ, 初等整数論の重要な定理の一つである. この講義では, 群と呼ばれる概念について学び, 中国剰余定理やアーベル群の基本定理の理解を目指す.
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本講義の到達目標は, 代数学の基礎である群論について, 基本的な考え方や命題を理解することである.
そのためには, 命題を厳格に証明する試みが大切である. その過程により, 基本的な考え方が身につき,
基本的な命題の理解が深まると思われる. 厳格な証明を試みるためには, 教科書や参考書をよく読み, よく書き写し,
内容を検証し, そして改めてノートに記すことが必要である.
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講義は対面式で行います. 教室内はもちろん, 廊下で大騒ぎしないようにお願いします. ついでに言いますと「三密」は仏教の言葉です.
講義内容は以下の通りです.
線形代数の復習, 群の定義と例, 部分群, 対称群など, 類別, 剰余類, 共役類, 正規部分群, 剰余群, 準同型定理, 同型定理, 直積, アーベル群の基本定理.
16週目(講義32回目)に期末試験を行います. 中間試験は, 9週目あたりに行います(レポートの提出状況などを考慮して, 実施日を決めます).
「思考の整理学」(外山滋比古著)に, 学校で何でも丁寧に教えるのは良いとは限らないと述べられています. 下に述べた, 講義内容を毎回の講義前に自分で本を読んで2時間は勉強してから, 講義に臨んで頂きたい. 講義中には, 定理の証明の詳細を意図的に省くことがあります. その部分について, 履修者自身が気が付いて, 自身がその行間を読む必要があります. また, 少しですが, 練習問題, 宿題を課しますので, 各自でそれらに取り組んで下さい. 毎回の講義後に2時間は, それらや講義の復習に取り組んで下さい.
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第1回
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線形代数, 置換の復習
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群の例として, 整数全体の集合を群(加法群)と見ることを説明する.
そして, いよいよ本格的に群論を学ぼうとするが, ここで, 徐に,
線形代数で学んだ, 置換についての復習を始める. ふざけているのではない.この講義で学ぶ`群'の例として, 対称群と呼ばれるものがある. 置換の理解が深まれば, 群の理解が深まる.
n文字の置換全体の集合を S_{n} とかく. S_{n} の元について,
積の定義を思い出し, 結合則や恒等置換の性質, 逆置換の性質を思い出そう.
巡回置換, 互換を思い出そう.
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第2回
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線形代数, 置換の復習
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S_{n} の元に関する命題.
巡回置換を互換の積で表す,
互換を三つの互換の積で表す,
置換は互換の積に分解される,
など
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第3回
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線形代数, 置換の復習
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置換について, 転位を定義し, それに基づいて, 置換を偶置換, 奇置換に分ける. また, 置換の符号を定義する.
偶置換は偶数個の互換の積に分解されること, 奇置換は奇数個の互換の積に分解されることを示す.
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第4回
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線形代数, 置換の復習
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S_{n}の元のうち具内環をすべて集めた集合をA_{n}と記す. A_{n} の中にある元の総数は n!/2 であることを示す.
置換を取り上げたのは, 今後の講義内容についての伏線だからである. どのように伏線が回収されるかは, 講義中にいちいちお伝えしません.
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第5回
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線形代数, 行列式の復習
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置換の復習をしたので, ついでに行列式を復習しておく.
特に, 行列式の積について,
|A||B|=?
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第6回
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群の定義と例
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ここから, 本格的に群論の勉強に入る. なんて講義進度がとろいのかと思うかも知れない.
先ず, 演算を説明する. 演算にならない例と演算になる例を考える.
その後, 群を定義する. web 上で群の定義を書くのは面倒なので割愛する. 簡単に言えば, G の演算について, 結合則を満たし, 単位元が存在し, 任意の元に必ず逆元が存在する集合を群という.
S_{n} や A_{n} は置換の積を演算として群になる.
結合則について注意を述べる.
群の単位元, 逆元の一意性を証明する.
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第7回
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群の例, 群に関する用語
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群の例を幾つか挙げる. それらが群の定義を満たすことを確認する.
(これが自分でできるようになれば, 講義が面白くなると思います. そうでなければ, 講義は面白くないと思います. 数学は面白くなるまでに, 少々時間が必要です.)
Z, mZ, R, Q, C: 加法群
R^{*}, Q^{*}, C^{*}, T, R^{+}: 乗法群
他に, 一般線型群 GL(n, C), 特殊線型群 SL(n,C), ユニタリ群 U(n), 直交群 O(n), モジュラー群など
群に関する用語も説明する.
加法群, 乗法群, 零元, 単位元,
群の位数, 元の位数, 有限群, 無限群, アーベル群, 非可換群 など
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第8回
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部分群
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群 G の部分集合のうち, 部分群と呼ばれる部分集合がある.
部分群の定義と例, 部分群を判定する命題を学ぶ. 対称群の中の交代群, GL(n, R) の中のSL(n,R), SL(2, R) の中の SL(2, Z) など.
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第9回
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SL(2, Z), 巡回群
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部分群の例の続き. GL(n,C) の中の SU(n) など. 巡回部分群について学ぶ. ついでに, 巡回群や群の生成元についても学ぶ.
対称群, 二面体群, SL(2,Z)の生成元などを学ぶ. 他に巡回群に関する命題も学ぶ.
ついでに, オイラー関数など, 数論的関数も紹介する. 群論において, オイラー関数は何を意味するだろうか?
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第10回
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初等整数論
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整数の整除(除法の原理), 最大公約数, 最小公倍数,素数の性質を学ぶ.
何を今更と思うかもしれないが, それは面白いし, 後に学ぶ`剰余類'や`剰余群'を学ぶための伏線でもある.
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第11回
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初等整数論
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環, イデアルの定義, 整数の合同について学ぶ. ついでに, 体も学ぶ. 後期の講義`代数学展開'への布石でもある.
さらに, 中国剰余定理を紹介する. しかし, 証明は断腸の思いで割愛する.
中国剰余定理は大切です.
(2025年度の大学院の講義・代数学特論でも扱いました.)
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第12回
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類別, 剰余類, ラグランジュの定理
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集合の類別, 群の類別について学ぶ. 集合の類別については, 集合の講義で学んでいると思うが, 面倒だと思わずに, 理解を深めて頂きたい.
集合の類別や類別の完全代表系について学び, その後, 集合として, 群を考える. 群 G をその部分群 H により剰余類に類別することを学ぶ.
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第13回
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類別, 剰余類, ラグランジュの定理
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ラグランジュの定理：有限群 G の部分群 H の位数, 指数は G の位数の約数である
を証明する.
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第14回
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正規部分群と剰余群
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群 G の部分群 H について, 共役な部分群を定義し, G の正規部分群を定義する. 正規部分群に関する命題(例えば, 指数が2 の部分群は正規部分群である)を学び, 正規分群の例を挙げる.
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第15回
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正規部分群と剰余群
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群 G をその正規部分群 N により, 剰余類に類別する. これらの類を元とする剰余群を定義する.
剰余群の例を確認する.
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第16回
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共役類, 類等式
(ハーディー・ラマヌジャンの公式, 交代群の単純性)
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共役類, 類等式を学ぶ.
群 G の元 g に共役な元を定義し, 群 G において, 共役な関係による同値類を定義する. それを共役類と呼ぶ. 群 G の共役類による類別を考える.
対称群において, 共役類を考える.
ついでに, 分割数についてのハーディー・ラマヌジャンの公式を紹介する. これは, コーシーの積分公式を用いて証明するので, この講義では証明しない. 複素解析の講義を参考にして下さい. 複素解析は大切です. x 以下の素数の個数をπ(x) と書くと, π(x)～x/log x (x→∞)であるが, これを証明するには, 複素解析を使うのがわかり易い. 複素解析を疎かにしてはいけない.
交代群 A_n (n は5以上)の単純性についても紹介する (その証明は単純ではない).
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第17回
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準同型定理・同型定理
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準同型定理・同型定理について学ぶ.
群 G から 群 G' への写像 f が, 任意の元 a, b \in G に対して, f(ab)=f(a)f(b) を満たすとき, f を G から G' への準同型写像と呼ぶ. この f が全単射ならば, 同型写像と呼ぶ.
例えば, 群 G とその正規正規部分 N を用いて, 剰余群 G/N を用意するとき, 群 G から 群 G/N への写像 f を f(a)=aN により定めると, これは, 全射であり, 準同型写像である. このような命題を学んだ後, 準同型定理を証明する. 準同型定理とは, f を群 G から群G' への全射準同型写像とすると, G/Ker f ≅ G' であるという命題である.
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第18回
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準同型定理の応用例
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準同型定理の応用例を学ぶ.
GL_{n}(R)/SL_{n}(R)≅ R^{*}, C^{*}/T ≅ R^{+}など.
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第19回
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準同型定理の応用例
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Γ_{1}(N)/Γ(N)≅ Z/NZ
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第20回
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第一同型定理, 第二同型定理
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第一同型定理, 第二同型定理を紹介する. 講義の進捗状況によっては, 割愛するが, 準同型定理の応用である.
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第21回
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直積
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集合の講義で, いくつかの集合の直積を学んだと思う. ここでは,
群の直積を考える.
幾つか群を用意して, それを並べて, それらの直積集合を作る. その集合が群になるように演算を定義する. このような群の同型に関する命題を証明する. 例えば, 群 G_{1}, G_{2}, ..., G_{n}を用意し, 各群の正規部分群を N_{i}と書く. G_{1}から G_{n} の直積を N_{1} から N_{n} の直積で割った剰余群は, G_{1}/N_{1}から G_{n}/N_{n} の直積に同型であることを示す.
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第22回
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直積・中国剰余定理
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群Gが n 個の正規部分群 G_{i}により, G=G_{1}G_{2}・・・G_{n}である状況を考える. G_{i}の元と G_{j} の元(i, j は相異なる添え字)が可換であるという命題と同値な命題を考える.
自然数 m, n が互いに素であるとする. Z/mnZ ≅ Z/mZ + Z/nZ を示す.
これより, 中国剰余定理が導かれる.
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第23回
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アーベル群の基本定理(1)
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有限生成加法群 G は, いくつかの巡回群の直和と同型である.
これがアーベル群の基本定理と呼ばれるものである. 本講義の最終目標はこれの証明を理解することである.
証明は結構面倒である.
m×n 行列で成分がすべて整数である行列の集合M(m,n,Z)に同値関係を定める.
m×n 行列で成分が整数であるA,B について, XAY=B
となるX(GL(m,Z)の元), Y(GL(n,Z)の元)があるとき, A～Bと定める.
この同値関係により, M(m,n,Z)を同値類に類別する.
各同値類の代表元が対角行列になることを示す.
剰余の定理, 行列の基本変形を用いる.
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第27回
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アーベル群の基本定理(5)
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階数 n の自由加群を定義する.
これは加法群 Z^{n} と同型である.
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第28回
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アーベル群の基本定理(6)
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(i) 階数nの自由加群とn個の元から生成される加法群への全射準同型写像を見出す.
(ii) 加法群Gから階数n の自由加群F_nへの全射準同型写像 φ について, G=Ker φ +H
Ker φ \cap H=\{0\}
H≅F_n
となるGの部分群Hが存在することを示す.
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第29回
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アーベル群の基本定理(7)
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階数 n の自由加群 F_n の部分群 H は階数が高々n の自由加群であることを示す.
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第30回
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アーベル群の基本定理(8)
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アーベル群の基本定理の証明を行う.
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第31回
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アーベル群の基本定理(9)
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続き.
講義の進度が早ければ, アーベル群の基本定理の応用例(整数論への応用例)を紹介します.
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※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
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A: --% B: --% C: --% D: --%
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備考
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特に教科書は指定しないが, 自分で一冊参考書を選んで購入してください. そして, 紙のノートを用意して, 自分で字を書いて, 予習・復習に努めてください. アルティン著「ガロア理論入門」(寺田文行訳, ちくま学芸文庫)の最後の方, 文庫版訳者あとがきに「単に目で読み, 考えていくという学習法ではなく, 書きながら進むこと」と書かれています. 自分で字を書くことを怠らないようにして下さい. 松本清張著「砂の器」(新潮文庫, 下巻の方)に「うむ, まずい. まるで中学生が書いたようだ. しかし, 近ごろの大学卒業者は, 字がおそろしく下手くそだからな」というセリフがあります.
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代数系入門
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9784000056342
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松坂和夫
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岩波書店
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1976
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群論序説
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9784535788091
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星 明考
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日本評論社
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2016
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群論
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4000211528
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浅野啓三・永尾汎
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岩波書店
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2014
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現代代数学 1
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9784489023002
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ファン・デル・ヴェルデン(銀林浩訳)
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東京図書
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2018
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備考
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この講義は, 上の「群論序説」を参考にしています. また, 上に述べた現代代数学1 はとても勉強になると思います. 最近出版された, 「手を動かしてまなぶ 群論」(原隆著, 裳華房)も参考にしながら, 講義の予習をしています.
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2024年度の代数学の講義では, 講義前に予習復習用資料として, 修学支援システムを用いて「講義ノート」を配布していましたが, 2026年度は講義ノートの配布は行いません. 2024年10月の新聞投書欄に, 高校の授業はスマートフォンを利用することが前提になっている, という高校生からの投書がありました. 私はそれを読んで深く反省しました. スマートフォン, インターネットがなくても勉強できるはずなのに, 講義の予習にインターネットを前提とし, 修学支援システムにより講義ノートを配布していたからです. 2025年度の代数学の講義は, インターネットを前提にせずに, 講義を行いました. 2026年度の講義もそのように行います.
抽象的な議論が多い講義ですが, 群論は初等整数論から発展した面もありますので, 具体的な整数の例などを各自で考えて予習復習に努めて下さい. 講義時間中に演習問題の解説をやっていたら, 時間がかかりすぎますので, 各自で演習書を自分で探してきて, 演習問題を解くことを日常的に取り組んで下さい. わからないときは, お気軽に質問してください. また, 後期の代数学展開I IIの履修を考えている人にはこの代数学の講義の履修を勧めます. 代数学展開はこの講義と独立して履修することができますが, この代数学の講義での議論に慣れていないと, 大変だと思います. 暁烏敏の「歎異抄講話」に, こんなことが書かれています. 「学問の目的は人格の完成にあり, 仏法の学問の完成はめでたく往生をと遂ぐるにあり. しかるを学問をして名をあげよう, 利を蓄えようと思うのが大なるまちがいである. 世間の学問ですら名利利養のためにすることは卑しいことであるのに, (略)」群論の勉強が人格の完成かどうかはさておき, 名利利養を無視して群論を楽しんで頂ければ幸いです.
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集合位相, 線形代数, 微分積分, 複素解析, フーリエ解析, 代数学展開, 発展セミナー, 特別研究
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南出 真, 133 研究室, minamide@yamaguchi-u.ac.jp
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平日の 18:00--20:00 にご自由にお越しください(18時までは, だいたい講義やセミナーがありますが, 午前中(8時50分前)の講義がない時間帯でも構いません). 対面式のみです. お気軽に質問してください. 研究室にいないときは, 図書館にいますので, 探して下さい. 図書館は静かで良いです.
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