タイトル

開講年度 開講学部等
2026 理学部
開講学期 曜日時限 授業形態 AL（アクティブ・ラーニング）ポイント
前期集中 集中    
時間割番号 科目名[英文名] 使用言語 単位数
1041100031 特殊講義Ⅱ(数理科学：タイル張りとその概周期性)[Special Lecture Ⅱ] 日本語 2
担当教員（責任）[ローマ字表記] メディア授業
平川　義之輔[HIRAKAWA Yoshinosuke] ー
担当教員[ローマ字表記]
永井 康史, 平川　義之輔　[HIRAKAWA Yoshinosuke]
特定科目区分   対象学生   対象年次 3～4
ディプロマ・ポリシーに関わる項目 カリキュラムマップ(授業科目とDPとの対応関係はこちらから閲覧できます)
授業の目的と概要
「タイル張り」と呼ばれる幾何学的対象について学ぶ。関数の概周期性は２０世紀初頭から盛んに研究され、フーリエ解析や微分方程式との関連からその理論が発展している。この授業では幾何学や化学における準結晶との関連で重要なタイル張りの概周期性について学ぶ。
授業の到達目標
「タイル張り」と呼ばれる幾何学的対象について理解する。特に、幾何学や化学における準結晶との関連で重要なタイル張りの概周期性について説明できるようになる。
授業計画
【全体】
まず概周期関数の簡単な例について学んだあと、周期的なタイル張りについて勉強し、その対称性の群の分類を学ぶ。その後非周期的タイル張りについて学び、様々な構成や概周期性について習熟する。
項目 内容 授業時間外学習 備考
第1回 概周期関数（１） Bohrによる概周期関数について学ぶ。概周期とコンパクト性を用いた二つの同値な定義を学習する。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第2回 概周期関数（２） Bohrによる概周期関数とそのFourier変換の理論について学ぶ。
キーワード：Fourier変換、Fejerの定理 		授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第3回 タイル張りの定義 タイル張りを定義し、様々な例について学習する。
キーワード：Wangタイル、Penroseタイル、Smith亀 		授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第4回 周期的タイル張りの分類（１） ユークリッド平面の周期的タイル張りの対称性の群（壁紙群）の分類について学ぶ。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第5回 周期的タイル張りの分類（２） ユークリッド平面の周期的タイル張りの対称性の群（壁紙群）の分類について学ぶ。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第6回 タイル張りの空間の位相とタイル張り空間（１） タイル張りのなす空間の局所的な位相とタイル張りのなす空間の構造について学ぶ。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第7回 タイル張りの空間の位相とタイル張り空間（２） タイル張りのなす空間の局所的な位相とタイル張りのなす空間の構造について学ぶ。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第8回 非周期的タイル張りの置換規則による構成 非周期的タイル張りの置換規則による構成について学ぶ。特にPenroseタイル張りやAmmann-Beenkerタイル張りについて学習する。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第9回 非周期的タイル張りの切断射影による構成 非周期的なタイル張りの切断射影による構成について学ぶ。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第10回 非周期的タイル張りの繰り返し構造 非周期的タイル張りはしばしば繰り返しの構造を持つ。パターンが繰り返し現れる構造と置換規則や切断射影との関係について学ぶ。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第11回 非周期的タイル張りの概周期性（１） 非周期的タイル張りはしばしば概周期性を持つ。そこでタイル張りの概周期性の定義と、そのような定義を満たす例について学ぶ。
キーワード：タイル張りの空間の統計的な擬距離、タイル張りの概周期性、Bohr概周期関数との関係、Fourier-Bohr係数 		授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第12回 非周期的タイル張りの概周期性（２） タイル張りの概周期性の定義と、そのような定義を満たす例についてさらに学ぶ。
キーワード：タイル張りの空間の統計的な擬距離、タイル張りの概周期性、Bohr概周期関数との関係、Fourier-Bohr係数 		授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第13回 概周期性の十分条件と必要条件（１） 一般にはタイル張りの概周期性を証明するのは難しいが、タイル張りのクラスによっては「coincidence」という条件が概周期性の必要十分条件になる。
ここではcoincidenceについて学ぶとともに、この条件が成り立つような例について学習する。 		授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第14回 概周期性の十分条件と必要条件（２） 一般にはタイル張りの概周期性を証明するのは難しいが、タイル張りのクラスによっては「coincidence」という条件が概周期性の必要十分条件になる。
ここではcoincidenceについて学ぶとともに、この条件が成り立つような例について学習する。 		授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
第15回 置換規則と代数的数、Pisot予想 置換規則の理論と代数的整数論の関連について学び、代数的数の性質とタイル張りの概周期性についての重要な予想であるPisot予想について学ぶ。 授業で示した問題について考察し、レポートを作成する。（予習・復習計4時間）
※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
A: --%　B: --%　C: --%　D: --%
成績評価法
レポート１００％
教科書にかかわる情報
備考
pdfで講義資料を配布する。
参考書にかかわる情報
参考書 書名 Aperiodic Order vol.1 Mathematical Invitation ISBN 9780521869911
著者名 M. Baake, U. Grimm 出版社 Cambridge University Press 出版年
備考
メッセージ
キーワード
タイル張り、タイリング、概周期性、結晶群、壁紙群、置換規則、切断射影
持続可能な開発目標（SDGs）

関連科目
履修条件
連絡先
ynagai@shinshu-u.ac.jp（永井）
講義開始前の質問、履修に関する相談などは yhirakawa@yamaguchi-u.ac.jp（平川）まで。
オフィスアワー
問い合わせがある場合は、授業前後及びメールで受け付けます。

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