タイトル

開講年度 開講学部等
2026 理学部
開講学期 曜日時限 授業形態 AL（アクティブ・ラーニング）ポイント
後期 火3～4,水5～6 講義  
時間割番号 科目名[英文名] 使用言語 単位数
1042100010 集合と位相Ⅱ[Basic Topology Ⅱ] 日本語 4
担当教員（責任）[ローマ字表記] メディア授業
脇條　奈生子[WAKIJO Naoko] ー
担当教員[ローマ字表記]
脇條　奈生子　[WAKIJO Naoko]
特定科目区分   対象学生   対象年次 2～4
ディプロマ・ポリシーに関わる項目 カリキュラムマップ(授業科目とDPとの対応関係はこちらから閲覧できます)
授業の目的と概要
集合にさまざまな数学的構造を与えたものを「空間」と呼ぶ。たとえば、ベクトル空間は集合上に加法とスカラー倍という代数的構造を与えたものであり、ユークリッド空間は微積分を展開できる幾何学的構造を備えた空間である。これらはいずれも数学における基本的な空間の例である。

前期科目「集合と位相Ⅰ」では、集合に関する基本事項を学習した。本授業「集合と位相Ⅱ」では、まず「距離」という構造に着目し、距離空間を定義して、その基本概念および基本的性質を学ぶ。続いて、距離空間をより一般化した概念として「位相」に基づく位相空間を扱う。位相は連続写像を特徴づけるための構造であり、距離空間は位相空間の特別な場合とみなすことができる。

授業では、距離空間および位相空間の基本概念に加えて、空間の性質を表す重要な概念である「コンパクト性」「連結性」「完備性」などを中心に学習する。これらを通して、定義から論理的に議論を展開する力を養うことを目標とする。
授業の到達目標
(1)距離空間・位相空間の概念及びその上の位相的概念(開集合、閉集合、コンパクト性、連結性、距離空間の完備性等)が理解できる。
(2)位相空間は距離空間の抽象化であるが、両空間の共通点を注意深く認識し、何が抽出され何が捨てられたのかを考察できる。
(3)板書をきちんとノートにとる忍耐力。
(4)現代数学全般で使われている位相的概念の基本事項を理論構成(証明)や具体例の中で表現できる。
授業計画
【全体】
本授業では、距離空間および位相空間の基本概念と基本的性質を体系的に学ぶ。主な内容は、開集合・閉集合、内部と閉包、集積点と孤立点、部分空間、連続写像と同相写像、開被覆とコンパクト性、ハイネ–ボレルの被覆定理、最大値・最小値の定理、距離空間の完備性などである。これらの概念を通して、定義に基づいて論理的に議論を展開する力を養う。

本授業では、週２コマを１回として計画する。各回の授業は、講義と演習を適宜組み合わせて行う。なお、下記の回単位計画は予定であり、授業の進行状況に応じて内容や方法を調整する場合がある。

各回につき、予習・復習として合計４時間程度の自主学習を期待する。
項目 内容 授業時間外学習 備考
第1回 ガイダンス
距離空間の定義と例
 		授業の概要、進め方、成績評価法などを説明する。
・距離空間の定義、ノルム空間、離散距離空間、部分距離空間など
 		講義資料や参考書を参照し復習8時間を行う。
第2回 距離空間とε論法 ε-N論法による点列の収束性、ε-δ論法による写像の連続性 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第3回 ε-近傍にまつわる基本用語 ε-近傍、内部、外部、境界、開集合、閉集合、触点、閉包、稠密など 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第4回 点列にまつわる基本用語
 		・触点、集積点、孤立点、導集合、完全集合など
 		講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第5回 距離空間の完備性 完備距離空間 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第6回 距離空間の完備化 距離空間の完備化 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第7回 距離空間のコンパクト性 点列コンパクト、コンパクト、最大値・最小値の存在定理、ハイネ-ボレルの被覆定理 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第8回 中間まとめ（理解度確認試験） 【前半】これまでの講義内容のまとめ・補足
【後半】理解度確認試験 		目安は8時間程度で、授業前半の学習内容を点検する。
第9回 距離空間のコンパクト性 ルベーグ数、全有界 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第10回 距離空間の位相構造 距離空間の位相構造 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第11回 位相空間の定義と例 位相空間の定義、離散位相、密着位相、距離位相など 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第12回 位相空間の性質 同相写像、位相の強弱・生成 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第13回 位相空間の性質 ハウスドルフの分離公理 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第14回 誘導される位相空間 部分位相空間、積位相空間、商位相空間 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第15回 連続写像と空間の性質 連続写像と空間の性質（連結性、コンパクト性、ハウスドルフ性など) 講義資料や参考書を参照し準備学習4時間と復習4時間を行う。
第16回 試験（期末時） 期末試験 目安は8時間程度で、授業全体の学習内容を点検する。
※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
A: --%　B: --%　C: --%　D: --%
成績評価法
二回の試験（中間時と期末時）により判定する。なお、出席は欠格条件とする。
定期試験（中間時と期末時）　100％
教科書にかかわる情報
備考
必要に応じて資料等を配布する。板書をしっかりノートに取り、定義を覚える癖をつけつつ、自身の教科書を作ってほしい。
参考書にかかわる情報
参考書 書名 はじめての集合と位相 ISBN 9784535786684
著者名 大田春外 出版社 日本評論社 出版年 1986
参考書 書名 集合と位相 ISBN 9784785314019
著者名 内田伏一 出版社 裳華房 出版年
参考書 書名 集合と位相 ISBN 9784764910102
著者名 鎌田正良 出版社 近代科学社 出版年
参考書 書名 位相入門: 距離空間と位相空間 ISBN 4781910742
著者名 鈴木晋一 出版社 サイエンス社 出版年
参考書 書名 復刊版 集合論入門 (基礎数学シリーズ) ISBN 9784254117059
著者名 松村英之 出版社 朝倉書店 出版年
備考
メッセージ
集合と位相はその抽象化のために微分積分学や線形代数学に比べ難しく感じるかもしれないが、直感的な捉え方も踏まえつつ、その理論を具体例を織り交ぜながら講義するので、リラックスして受講してほしい。しかし、復習を次の講義までに「必ず」行う癖を付けてほしい。
キーワード
距離空間、位相空間、開集合と閉集合、コンパクト性、完備性、連結性、等
持続可能な開発目標（SDGs）

  • 質の高い教育をみんなに
(教育)すべての人に包摂的かつ公正な質の高い教育を確保し、生涯学習の機会を促進する。
関連科目
集合と位相 I
履修条件
連絡先
研究室：理学部1号館130号室
修学支援システムのメッセージで連絡してください。
オフィスアワー
初回授業時に指示します。学習相談の場合、事前連絡を必要とします。

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