タイトル

開講年度 開講学部等
2025 理学部
開講学期 曜日時限 授業形態 AL（アクティブ・ラーニング）ポイント
後期 水5～6 講義  
時間割番号 科目名[英文名] 使用言語 単位数
1042200002 物理と情報のための応用数学Ⅲ[Advanced Mathematics for Physics and Informatics Ⅲ] 日本語 2
担当教員（責任）[ローマ字表記] メディア授業
朝日 孝尚[ASAHI Takanao] ー
担当教員[ローマ字表記]
朝日 孝尚　[ASAHI Takanao], 元木　業人　[MOTOGI Kazuhito]
特定科目区分   対象学生   対象年次 2～4
ディプロマ・ポリシーに関わる項目 カリキュラムマップ(授業科目とDPとの対応関係はこちらから閲覧できます)
授業の目的と概要
観測や実験で得られる量，人間社会の様々な活動に伴う各種のデータなどは全て実数ですが，実数のまま扱うよりも適当に組み合わせて複素数にした方が取り扱いが楽になることがよくあります。この授業では複素関数の基礎的な話と利用法について講義します。
授業の到達目標
複素数の関数の基本的な性質を知り，微分・積分について理解した上で，複素関数の応用及び計算に習熟する。問題解決のために，適切な数学的知識を活用できるようになるとともに，身近な現象や既習事項と関連づけながら，学習内容に興味を持って取り組む。
授業計画
【全体】
第１章　複素関数
　1. 複素数
　2. 数列と級数
　3. べき級数
　4. 複素変数の関数
第２章　複素関数の微分
　1. 複素微分
　2. Cauchy - Riemann の関係式
第３章　複素積分
　1. 複素積分
　2. Cauchy の積分公式
　3. 積分の例
第４章　複素関数の展開
　1. Taylor 展開
　2. 零点について
　3. Laurent 展開
　4. 特異点について
第５章　留数定理
　1. 留数定理
　2. 複素積分の例と留数定理の応用
項目 内容 授業時間外学習 備考
第1回 複素数の復習
数列と級数 その1 		虚数単位，複素数，共役複素数，複素平面，絶対値，偏角，極形式
数列，級数，絶対収束，コーシーの乗積 		授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第2回 数列と級数 その2
べき級数 その1 		無限級数の収束判定方法
べき級数，べき級数の収束，収束円と収束半径 		授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第3回 べき級数 その2
複素関数（指数関数） 		べき級数の一意性
指数関数の定義，指数関数の収束，指数関数の性質，オイラーの公式 		授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第4回 複素関数（三角関数と双曲線関数） 三角関数の定義と性質，双曲線関数の定義と性質 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第5回 複素関数（対数関数，べき関数） 対数関数の定義と性質，べき関数の定義と性質 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第6回 複素関数（重要な注意）
複素関数の微分 その1 		対数関数とべき関数についての重要な注意
複素微分の定義 		授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第7回 複素関数の微分 その2 正則，微分公式，べき級数の微分，基本的な関数（指数関数，三角関数，双曲線関数，対数関数，べき関数）の微分 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第8回 コーシー・リーマンの関係式 コーシー・リーマンの関係式，調和関数 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第9回 複素関数の積分 複素積分の定義，複素積分の基本的な性質，積分路変形の定理，コーシーの積分定理 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第10回 原始関数と複素積分の例 原始関数，複素積分についてのいくつかの定理（部分積分，置換積分，モレラの定理），簡単な複素積分の例 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第11回 コーシーの積分公式と正則関数 コーシーの積分公式，正則な関数に関するいくつかの定理（最大値の原理，コーシーの評価式，リウヴィルの定理，代数学の基本定理） 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第12回 テイラー展開とローラン展開 テイラー展開，零点，位数，ローラン展開 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第13回 特異点 特異点の定義，孤立特異点，極，有理形，真性特異点，ワイエルストラスの定理 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第14回 留数定理 留数定理，留数の求め方 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：3時間）。また，次週の予習をしてください（目安：1時間）。
第15回 留数定理の応用 留数定理の応用例 授業の復習をし，宿題の演習問題を解いてください（目安：2時間）。また，期末試験の準備をしてください（目安：2時間）。
第16回 期末試験 授業で学んだ全範囲について基本的な問題を出します。 期末試験の問題を解き直しましょう。
※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
A: --%　B: --%　C: --%　D: --%
成績評価法
宿題レポートと学期末の筆記テストで評価します。
宿題レポート　15%，学期末の筆記テスト　85%
教科書にかかわる情報
備考
講義のまとめ，演習問題とその解答例などをMoodleに置きます。
参考書にかかわる情報
参考書 書名 複素関数を学ぶ人のために ISBN 9784274068874
著者名 芦田正巳著 出版社 オーム社 出版年 2012
参考書 書名 なっとくする複素関数 ISBN 9784061545267
著者名 小野寺嘉孝著 ; 講談社サイエンティフィク編集 出版社 講談社 出版年 2006
備考
他にもいろんな参考書があります。図書館で自分に合う本を探してみてください。
メッセージ
毎時間，宿題を出します。授業の復習をしてから問題を解きましょう。自分で問題を解く努力をして理解を深めてください。
キーワード
複素関数，複素微分，複素積分
持続可能な開発目標（SDGs）

関連科目
全ての物理系科目と多くの情報系科目に関連している。
履修条件
連絡先
hcc30@yamaguchi-u.ac.jp
オフィスアワー
基本はメールで担当教員に連絡すること

緊急時は世話担当教員にも相談可能
世話担当教員: 元木業人 理学部本館2階231室

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