タイトル

開講年度 開講学部等
2026 大学院創成科学研究科（博士前期）
開講学期 曜日時限 授業形態 AL（アクティブ・ラーニング）ポイント
前期 月3～4 講義  
時間割番号 科目名[英文名] 使用言語 単位数
3241010210 代数学特論Ⅰ 日本語 2
担当教員（責任）[ローマ字表記] メディア授業
平川　義之輔[HIRAKAWA Yoshinosuke] ー
担当教員[ローマ字表記]
平川　義之輔　[HIRAKAWA Yoshinosuke]
特定科目区分   対象学生   対象年次 1～2
ディプロマ・ポリシーに関わる項目 カリキュラムマップ(授業科目とDPとの対応関係はこちらから閲覧できます)
授業の目的と概要
整数論、特に代数方程式（の整数解）の研究から派生した様々な環について解説を行う。履修者の興味・理解度に応じて、代数幾何学的な側面についても触れる予定である。
授業の到達目標
(1)本講義の基本的な事項について理解できる。
(2)課題を見つけ、解決するために論理的な思考ができる。
(3)法則を追い求めることに興味と関心をもつことができる。
(4)修得した知識を活用することができ、筋道だった表現と記述ができる。
授業計画
【全体】
群と環
イデアルと剰余環
整数環と多項式環
単項イデアル整域とEuclid整域
有限体
Galois理論
Dedekind整域
離散付値環
代数的整数
項目 内容 授業時間外学習 備考
第1回 ガイダンス
代数系の復習 		群と環、イデアル、剰余環、環準同型定理 予習の目安:4時間以上（特に学部3・4年次の代数学の講義を復習すること）
第2回 単項イデアル整域1 剰余の定理、既約元分解、Euclid整域 予習・復習の目安:4時間以上
第3回 単項イデアル整域2 既約元分解の一意性、1 mod 3型素数の無限性、2 mod 3型素数の無限性、Dirichletの算術級数定理 予習・復習の目安:4時間以上
第4回 単項イデアル整域3 Fermat方程式、Catalan方程式 予習・復習の目安:4時間以上
第5回 単項イデアル整域4 多項式のabc定理、多項式のFermat方程式 予習・復習の目安:4時間以上
第6回 有限体1 素イデアル、極大イデアル、体の標数、素体 予習・復習の目安:4時間以上
第7回 有限体2 Lagrangeの定理、Fermatの小定理、原始根定理、1 mod q型素数の無限性 予習・復習の目安:4時間以上
第8回 有限体3 有限体のGalois理論、圏同値、素数と円周の類似 予習・復習の目安:4時間以上
第9回 有限体4 Fermat方程式 mod pの解の個数 予習・復習の目安:4時間以上
第10回 中間まとめ 中間まとめ 予習・復習の目安:4時間以上
第11回 Dedekind整域1 既約元分解の一意性の破綻、極大イデアル分解の存在と一意性 予習・復習の目安:4時間以上
第12回 Dedekind整域2 Dedekind整域の局所的な特徴付け、局所化、付値、離散付値環 予習・復習の目安:4時間以上
第13回 Dedekind整域3 Dedekind整域の拡大、イデアル類群と関連する未解決問題 予習・復習の目安:4時間以上
第14回 Dedekind整域4 環とスキーム 予習・復習の目安:4時間以上 履修者の興味・理解度に応じて、適宜変更する。
第15回 Dedekind整域5 abc定理再訪、Fermat方程式再訪 予習・復習の目安:4時間以上 履修者の興味・理解度に応じて、適宜変更する。
※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
A: --%　B: --%　C: --%　D: --%
成績評価法
レポート　100％
教科書にかかわる情報
備考
講義資料を配布する予定である。
参考書にかかわる情報
参考書 書名 代数学２　環と体とガロア理論 ISBN 9784535786608
著者名 雪江　明彦 出版社 日本評論社 出版年 2010
参考書 書名 整数論１　初等整数論からp進数へ ISBN 9784535787360
著者名 雪江　明彦 出版社 日本評論社 出版年 2013
参考書 書名 初等整数論　数論幾何への誘い ISBN 9784320111790
著者名 山﨑　隆雄 出版社 共立出版 出版年 2015
備考
メッセージ
大学院生向けの講義なので、学部の代数系科目で学ぶ線型代数・群・環・体の理論は既知とします。特に、ベクトル空間の基底と次元、群準同型定理、有限群の位数に関するLagrangeの定理、環準同型定理、既約元および既約元分解、単項生成イデアルとそうでないイデアルの例、多項式環の剰余体と体の有限次拡大体の関係などを復習した上で、講義に臨んでください。
キーワード
群と環、イデアルと剰余環、整数環と多項式環、単項イデアル整域とEuclid整域、有限体、Galois理論、Dedekind整域、離散付値環、代数的整数、abc定理、Fermat方程式
持続可能な開発目標（SDGs）

  • 質の高い教育をみんなに
(教育)すべての人に包摂的かつ公正な質の高い教育を確保し、生涯学習の機会を促進する。
関連科目
履修条件
連絡先
理学部1号館138号室
オフィスアワー
事前にメール等で日程調整してもらえれば、可能な範囲で質問に対応する。

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