タイトル

開講年度 開講学部等
2025 大学院創成科学研究科（博士前期）
開講学期 曜日時限 授業形態 AL（アクティブ・ラーニング）ポイント
後期 火1～2 講義  
時間割番号 科目名[英文名] 使用言語 単位数
3242010180 基礎数理解析学特論Ⅱ[Mathematical Analysis II] 日本語 2
担当教員（責任）[ローマ字表記] メディア授業
堀田 一敬[HOTTA Ikkei] ○
担当教員[ローマ字表記]
堀田 一敬　[HOTTA Ikkei]
特定科目区分   対象学生   対象年次 1～2
ディプロマ・ポリシーに関わる項目 カリキュラムマップ(授業科目とDPとの対応関係はこちらから閲覧できます)
授業の目的と概要
ルベーグ積分は今日では測度論の名のもとに整理拡張され，解析学の欠くことのできない重要な役割を果たしている．本講義ではリーマン積分の基礎から始め，ルベーグ積分の定義とその諸性質に関してコンパクトに解説する．

本講義は動画配信によるオンライン形式にて行うが，期末考査は対面で常盤キャンパスにて行う．
授業の到達目標
測度の概念を学び，ジョルダン測度とルベーグ測度との違いを学ぶ．リーマン積分とルベーグ積分の定義を確認し，その違いを学ぶ．ルベーグ積分の諸性質を理解する．
授業計画
【全体】
リーマン積分の復習から始め，測度論の基礎を学んだあとにルベーグ積分を定義する．その後収束定理やFatouの補題など，ルベーグ積分における基本事項を学ぶ．
項目 内容 授業時間外学習 備考
第1回 イントロダクション 記号の説明 リーマン積分とルベーグ積分についての概要，集合論の復習（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第2回 可算集合と非可算集合 可測集合と非可測集合の復習（特に有理数と無理数）（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第3回 リーマン積分の定義1 上限和と下限和（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第4回 リーマン積分の定義2 上積分と下積分，リーマン積分の定義（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第5回 リーマン積分の性質 リーマン積分の各種必要条件，十分条件（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第6回 ジョルダン測度とジョルダン非可測集合 ジョルダン外測度，ジョルダン内測度，ジョルダン非可測集合の例（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第7回 ルベーグ外測度の定義 被覆とルベーグ外測度について（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第8回 ルベーグ外測度の性質 ルベーグ外測度の性質，特に閉区間の体積とルベーグ外測度について（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第9回 ルベーグ内測度とルベーグ測度 ルベーグ内測度とそのコンセプト，ルベーグ測度の定義（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第10回 ルベーグ測度の性質とルベーグ非可測集合 ルベーグ測度の性質の紹介，ルベーグ非可測集合の構成と選択公理（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第11回 可測関数の定義とその性質
 		ルベーグ可測関数の定義と同値条件（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第12回 a.e.の概念について 測度0集合と「ほとんど至るところ」の概念の紹介（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第13回 ルベーグ積分の定義 ルベーグ積分の定義（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第14回 ルベーグ積分の性質 単調収束定理とFatouの補題（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第15回 ルベーグ積分の性質 ルベーグの優収束定理（動画配信） 授業計画に沿って予習２時間，復習２時間を行う．
第16回 期末試験 対面で期末試験を行う 授業計画に沿って試験勉強を4時間を行う．
※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
A: --%　B: --%　C: --%　D: --%
成績評価法
学期末の筆記テスト 100%
教科書にかかわる情報
備考
特に指定しない
参考書にかかわる情報
備考
川平友規「ルベーグ積分の基礎のキソ」
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/lebesgue.pdf
Christopher Heil 「Introduction to Real Analysis (Graduate Texts in Mathematics 280)」
https://www.amazon.co.jp/dp/3030269019/
Gail S. Nelson 「A User-Friendly Introduction to Lebesgue Measure and Integration」
https://www.amazon.co.jp/dp/1470421992
メッセージ
キーワード
ルベーグ積分，測度論，リーマン積分
持続可能な開発目標（SDGs）

  • 産業と技術革新の基盤をつくろう
(インフラ、産業化、イノベーション)強靱（レジリエント）なインフラ構築、包摂的かつ持続可能な産業化の促進及びイノベーションの推進を図る。
関連科目
履修条件
微分積分学（数学I，数学II）に関する知識を必要とする．
連絡先
ihotta@yamaguchi-u.ac.jp
オフィスアワー
随時受け付ける．

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