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第1回
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ラマヌジャン・テータ関数
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ラマヌジャン・テータ関数の定義と性質
|ab|<1 である複素数 a, b に対して, f(a,b) を
f(a,b)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n(n+1)/2}b^{n(n-1)/2}
と定義する. これがラマヌジャンのテータ関数である.
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第2回
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one-psi-one 公式
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one-psi-one 公式, q-級数に関する命題
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第3回
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ラマヌジャン合同1
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p(n) を自然数 n を自然数の和で表す方法の個数とする. 和の個数には制限を付けない. また, 和の順序のみ異なる表し方は同一視する. p(n) を分割数と呼ぶ.
分割数 p(5n+4) が 5 で割り切れることについて
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第4回
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ラマヌジャン合同2
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分割数 p(7n+5) が 7 で割り切られることについて
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第5回
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p(n) の偶奇
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分割数p(n) が奇数である n について
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第6回
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平方数の和による整数の表現1
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r_{k}(n) を自然数 n を k 個の平方数の和で表す方法の個数とする. ただし, 和の順序の違いや平方数を作る整数の符号の違いも考慮する.
r_{2}(n) の表示について
r_{2}(n)=\sum_{d|n, d奇数}(-1)^{(d-1)/2}
を証明する.
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第7回
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平方数の和による整数の表現2
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r_{4}(n) の表示について
r_{4}(n)=8\sum_{d|n, 4\nmid d}d
を示す.
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第8回
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平方数の和による表現3
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r_{6}(n) の表示について
これはかなり複雑.
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第9回
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環と加群について
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環と加群の定義と例について紹介する.
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第10回
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ホモロジー代数
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多元環の表現論において基本的な道具であるホモロジー代数について説明する.
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第11回
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クイバーとその表現1
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クイバーとその表現の定義や性質について解説する.
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第12回
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クイバーとその表現2
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Gabriel の定理を解説する.
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第13回
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クイバーとその表現3
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有限次元多元環がクイバーを用いて記述されることを紹介する. さらに, この多元環上の加群がクイバーの表現によって表される事を説明する.
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第14回
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Auslander--Reiten 理論
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多元環の表現論の基礎理論の一つである Auslander--Reiten 理論について概説を行う.
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第15回
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まとめと今後の展望
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第9週～第14週の内容についての総括と今後の展望を述べる.
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※AL（アクティブ・ラーニング）欄に関する注
・授業全体で、AL（アクティブ・ラーニング）が占める時間の割合を、それぞれの項目ごとに示しています。
・A〜Dのアルファベットは、以下の学修形態を指しています。
【A：グループワーク】、【B：ディスカッション・ディベート】、【C：フィールドワーク（実験・実習、演習を含む）】、【D：プレゼンテーション】
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